已知定点A，两动点B、C分别在y轴和x轴上运动，且满足AB•BC=0，CQ=2BC，求动点Q的轨迹E的方程；过点G的直线l与轨

题文

已知定点A（-3，0），两动点B、C分别在y轴和x轴上运动，且满足AB•BC=0，CQ=2BC，
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）过点G（0，1）的直线l与轨迹E在x轴上部分交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于D点，求D点横坐标的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设点B、C、Q的坐标分别为（0，b）、（c，0）、（x，y），则有AB=(3，b).BC=(c，-b)，CQ=(x-c，y)由已知得3c-b2=0x-c=2cy=-2b消去b，c得y2=4x，即动点Q的轨迹E的方程是y2=4x．
（2）设直线l的方程为x=k（y-1），代入轨迹E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0
由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．
由根与系数的关系可得MN的中点坐标为（k（2k-1），2k）．
∴线段MN垂直平分线方程为y-2k=k[x-k（2k-1）]．
令y=0，得D点的横坐标为x₀=2k²-k+2．
∵k＞1，∴x₀＞3，∴D点的横坐标的取值范围为（3，+∞）．

解析

则有AB=(3，b).BC=(c，-b)，CQ=(x-c，y)由已知得3c-b2=0x-c=2cy=-2b消去b，c得y2=4x，即动点Q的轨迹E的方程是y2=4x．

考点

据考高分专家说，试题“已知定点A（-3，0），两动点B、C分别.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。