已知平面上两定点M、N，P为一动点，满足.MP-.MN=|.PN|-|.MN|．求动点P的轨迹C的方程；若A、B是轨迹C上的

题文

已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足.MP-.MN=|.PN|-|.MN|．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且.AN=λ.NB．分别以A、B为切点作轨迹C的切
线，设其交点Q，证明.NQ-.AB为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设P（x，y）．
由已知 MP=（x，y+2），MN=（0，4），PN=（-x，2-y），
MP•MN=4y+8．
|PN|•|MN|=4x²+（y-2）²（3分）
∵MP•MN=|PN|•|MN|
∴4y+8=4x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）-x1=λx22-y1=λ（y2-2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由AN=λNB
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2），
∴-x₁=λx₂…（1），
2-y₁=λ（y₂-2）…（2）
将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解得 y₁=2λ，y₂=2λ，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为 y=18x₂，求导得y′=14x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y=14x₁（x-x₁）+y₁，y=14x²（x-x₂）+y₂，
即y=14x₁x-18x₁²，y=14x₂x-18x₂²
解出两条切线的交点Q的坐标为 （x1+x22，x1x28）=（x1+x22，-2）（11分）
所以 NQ•AB=（x1+x22，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=12（x₂²-x₁²）-4（18x₂²-18x₁²）=0
所以 .NQ•.AB为定值，其值为0．（13分）

解析

MP

考点

据考高分专家说，试题“已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。