已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点，离心率为66，左、右焦点分别为F1和F2．求椭圆方程；点M在椭圆上，求△MF1F2面积的

题文

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，5），离心率为66，左、右焦点分别为F₁和F₂．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使PF1•PF2=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1．
由已知得，b=5，e=ca=66．（2分）
则e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2，∴1-5a2=16．解得a²=6（4分）
∴所求椭圆方程为x26+y25=1（5分）
（2）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2=12|F1F2|•|y1|=12•2•|y1|（7分）
∵点M在椭圆上，∴-5≤y1≤5，故|y₁|的最大值为5（8分）
∴当y1=±5时，S△MF1F2的最大值为5．（9分）
（3）假设存在一点P，使PF1•PF2=0，
∵PF1≠0，PF2≠0，∴PF1⊥PF2，（10分）
∴△PF₁F₂为直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵|PF1|+|PF2|=2a=26 ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴12|PF1|•|PF2|=5，（13分）
即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值为5，故矛盾，
∴不存在一点P，使PF1•PF2=0．（14分）

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。