已知P为椭圆9x2+2y2=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且PM=2MQ，设点M的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；（Ⅱ

题文

已知P为椭圆9x²+2y²=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且PM=2MQ，设点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交点A、B，且OA•OB＞23，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，
则Q（x₀，0），M（x，y），PM=(x-x0，y-y0)，MQ=(x0-x，-y)．
∵PM=2MQ，（1分）
∴x-x0=2(x0-x)y-y0=-2y.
∴x0=xy0=3y即点P的坐标为（x，3y）．（3分）
点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x²+18y²=18．
即曲线E的方程为x²+2y²=2．（5分）
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=x+m与9x²+18y²=18联立y=x+mx2+2y2=2.
去y，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．
x1+x2=-4m3，x1•x2=2m2-23．（7分）
由OA•OB＞23得x1•x2+y1•y2＞23．
 而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）•（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=2×2m2-23+m(-4m3)+m2=m2-43（10分）
∴m2-43＞23，即m²＞2，又0≤m²＜3，
∴2＜m²＜3．
∴实数m的取值范围是(-3， -2)∪(2， 3)．（12分）

解析

PM

考点

据考高分专家说，试题“已知P为椭圆9x2+2y2=18上任意一.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。