已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为63，其左、右焦点分别是F1、F2，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=102，PF1•PF2=12（

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=102，PF1•PF2=12（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使OM+ON=λOA，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|OP|=102得x02+y02=52，
由PF1•PF2=12，得（-c-x₀，-y₀）•(c-x0，-y0)=12，
即x02+y02-c2=12，
所以c=2，又因为ca=63，所以a²=3，b²=1，
椭圆C的方程为：x23+y2=1；
（2）由y=xx23+y2=1得A(32，32)，
设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组y=kx+mx23+y2=1
消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-31+3k2，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+3k2，
∵OM+ON=λOA，∴x1+x2=32λ，y1+y2=32λ，
得kMN=-13，m=33λ，于是x1+x2=3m2，x1x2=9m2-94，
∴|MN|=1+(-13)2|x1-x2|=103(x1+x2)2-4x1x2=104-3m22，
∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=310m10，
∴S△OMN=12|MN|d=104-3m24•310m10
=3•(4-3m2)•3m24≤32，
当m=63，即λ=2时等号成立，S_△OMN的最大值为32．

解析

102

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。