已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示OH．

题文

已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示OH． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由OA⊥OBOA⊥OC⇒OA⊥平面OBC⇒OA⊥BC，连AH并延长并BC于M．
则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH⇒OH⊥BC、
同理可证：OH⊥ACAC∩BC=C⇒OH⊥平面ABC、
又OA，OB，OC是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁，k₂，k₃使得OH=k1a+k2b+k3c、
由OH•BC=0且a•b=a•c=0⇒k_2b2=k_3c2，同理k_1a2=k_2b2．
∴k_1a2=k_2b2=k_3c2=m≠0． ①
又AH⊥OH，
∴AH•OH=0⇒(k1-1)a+k2b+k3c•(k1a+k2b+k3c)=0⇒k₁（k₁-1）a2+k22b2+k32c2=0②
联立①及②，得m(k1-1)+mk2+mk3=0，m≠0⇒k1+k2+k3=1③
又由①，得k1=ma2，k2=mb2，k3=mc2，代入③得：m=a2•b2•c2a2•b2+b2•c2+c2•a2⇒k1=b2•c2△，k2=c2•a2△，k3=a2•b2△，
其中△=a2•b2+b2•c2+c2•a2，于是OH=1△（b2•c2•a+c2•a2•b+a2•b2•c）

解析

OA⊥OBOA⊥OC

考点

据考高分专家说，试题“已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。