已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．求椭圆C的方程；若过

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足OA+OB=top（O为坐标原点），当|PA-PB|＜253时，求实数t取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意知e=ca=22，所以e2=c2a2=a2-b2a2=12．
即a²=2b²．（2分）
又因为b=21+1=1，所以a²=2，S△OBC•OA+S△OCA•OB+S△OBA•OC=0．
故椭圆C的方程为x22+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由y=k(x-2)x22+y2=1.得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜12．（6分）
x1+x2=8k21+2k2，x1•x2=8k2-21+2k2∵OA+OB=tOP∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=x1+x2t=8k2t(1+2k2)，y=yy+y2t=1t[k(x1+x2)-4k]=-4kt(1+2k2)
∵点P在椭圆上，∴(8k2)2t2(1+2k2)2+2(-4k)2t2(1+2k2)2=2，∴16k²=t²（1+2k²）．（8分）
∵|PA-PB|＜253，∴1+k2|x1-x2|＜253，∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜209
∴(1+k2)[64k4(1+2k2)2-4•8k2-21+2k2]＜209，∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k2＞14．（10分）
∴14＜k2＜12，∵16k²=t²（1+2k²），∴t2=16k21+2k2=8-81+2k2，
∴-2＜t＜-263或263＜t＜2，∴实数t取值范围为(-2，-263)∪(263，2)．（12分）

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。