在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足AD=511DB．求|AB-AC|；存在实数t≥1，使得向量x=AB+tA

题文

在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足AD=511DB．
（1）求|AB-AC|；
（2）存在实数t≥1，使得向量x=AB+tAC ， y=tAB+AC，令k=x•y，求k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵AD=5，且满足AD=511DB．
∴A，B，D三点共线，且DB=11
在Rt△ADC中，CD²=AC²-AD²=75，
在Rt△BDC中，BC²=DB²+CD²=196，∴BC=14
∴|AB-AC|=|CB|=14；
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=256+100-1962•16•10=12
∵x=AB+tAC ， y=tAB+AC
∴k=x•y=t|AB|2+(t2+1)AC•AB+t|AC|2=80t²+356t+80
∵t≥1，
∴t=1时，k取得最小值为516．

解析

AD

考点

据考高分专家说，试题“在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。