已知定点A、B，动点M满足：AM•BM等于点M到点C距离平方的k倍．试求动点M的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；当

题文

已知定点A（-1，0）、B（1，0），动点M满足：AM•BM等于点M到点C（0，1）距离平方的k倍．
（Ⅰ）试求动点M的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；
（Ⅱ）当k=2时，求|AM+2BM|的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设M（x，y），则AM=（x+1，y），BM=（x-1，y）
由题意可得，AM•BM=kMC2
即（x+1，y）•（x-1，y）=k[x²+（y-1）²]
整理可得，（1-k）））x²+（1-k）y²+2ky=1+k即为所求的动点轨迹方程
①k=1时，方程化为y=1，表示过（0，1）且与x轴平行的直线
②当k≠1时，方程可化为x2+(y+k1-k)2=1(1-k)2表示以（0，kk-1）为圆心，以|11-k|为半径的圆
（II）当k=2时，方程可化为x²+（y-2）²=1
|AM+2BM|=(3x-1)2+9y2=9x2-6x+1+9y2
=9(x2+y2)-6x+1=9(4y-3)-6x+1
=36y-6x-26
设x=cosθy=2+sinθ
则|AM+2BM|=46+36sinθ-6cosθ=46+637sin(θ+α)
sinα=-137cosα=637
∴37-3=46-637≤|AM+2BM|≤46+637=37+3
∴求|AM+2BM|的最大值为3+37，最小值37-3

解析

AM

考点

据考高分专家说，试题“已知定点A（-1，0）、B（1，0），动.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。