过椭圆x2+4y2=4的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|MN|=32；求直线l的斜率；设M、N在椭圆右准线上的射影分别是M1、N1，求MN•

题文

过椭圆x²+4y²=4的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|MN|=32；
（1）求直线l的斜率；
（2）设M、N在椭圆右准线上的射影分别是M₁、N₁，求MN•M1N1的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设直线l的倾斜角为θ，显见θ≠90°，
k=tanθ，F(3，0)，
由x2+4y2=4y=k(x-3)，得(1+4k2)x2-83k2x+12k2-4=0，（2分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=83k21+4k2，x1x2=12k2-41+4k2，
∵|MN|=32=1+k2|x1-x2|=1+k2(83 k21+4k2)2-4×12k2-41+4k2，
整理，得4k2+41+4k2=32，
解得k2=54，∴k=±52．（6分）
（2）MN•M1N1=|MN|•|M1N1|cos(90°-θ)
=|MN|•|MN|cos2(90°-θ)
=|MN|2sin2θ，（9分）
k2=tan2θ= 54，
∴sin2θ=59，|MN|2=94，
∴MN•M1N1=94•59=54．（12分）

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“过椭圆x2+4y2=4的右焦点F作直线l.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。