在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A和点B，且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积，过点P且斜率为k的直线与圆C相交于不同

题文

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（4，0）和点B（6，2），且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量OM+ON与PC共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）AB的中垂线方程为y=x-4…（1分）   
联立方程y=x-4x+2y-6=0解得x=6y=0即圆心坐标（6，0）…（1分）
半径为（4，0）与（6，0）的距离即2
故圆的方程为（x-6）²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）由直线y=kx+2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径
∴|kx+2|1+k2＜2⇒-34＜k＜0…（7分）
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
OM+ON=(x1+x2，y1+y2)，PC=(6，-2)
因为OM+ON与PC共线，
所以6(y1+y2)+2(x1+x2)=0⇒(3k+1)(x1+x2)+12=0⇒k=-34
由第（Ⅱ）问可知，直线不存在．

解析

y=x-4x+2y-6=0

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。