题文
（本小题满分14分）
如图5，
是△
的重心，
、
分别是边
、
上的动点，且
、
、
三点共线．（1）设
，将
用
、
、
表示；
（2）设
，
，证明：
是定值；
（3）记△
与△
的面积分别为
、
．求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）
解析
：（1）
．…2分
（2）一方面，由（1），得
；①
另一方面，∵
是△
的重心，
∴
②…4分
而
、
不共线，∴由①、②，得
…6分
解之，得
，∴
（定值）．…………………8分
（3）
．……………………10分
由点
、
的定义知
，
，
且
时，
；
时，
．此时，均有
．
时，
．此时，均有
．
以下证明：
．
（法一）由（2）知
，
∵
，∴
．…………………………12分
∵
，∴
．
∴
的取值范围
．………………………………14分
（法二）
，
令
，则
，其中
．
利用导数，容易得到，关于
的函数
在闭区间
上单调递减，在闭区间
上单调递增．………………………………12分
∴
时，
．
而
或
时，均有
．
∴
的取值范围
．…………………………14分
注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）如图5，是△的重心，.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
