平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为(　　)A．(x-1)2

题文

平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足

=α

+β

,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )A．(x-1)²+(y-2)²=5B．3x+2y-11=0C．2x-y=0D．x+2y-5=0 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

解析

【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解.
解:设C(x,y),则

=(x,y),

=(3,1),

=(-1,3).由

=α

+β

,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
于是


由③得β=1-α代入①②,消去β得


再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0.
【一题多解】由平面向量共线定理,得当

=α

+β

,α+β=1时,A,B,C三点共线.
因此,点C的轨迹为直线AB,
由两点式求直线方程得

=

,
即x+2y-5=0.

考点

据考高分专家说，试题“平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。