已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;(2)是否存在两定点F1,F

题文

已知△ABC的三边长|AB|=

,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足

=λ

+μ

,且λμ=

.



(1)求|

|最小值,并指出此时

与

,

的夹角;
(2)是否存在两定点F₁,F₂使||

|-|

||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

   

或

   (2) 存在   k=2

解析

解:(1)由余弦定理知:
cos∠ACB=

=

⇒∠ACB=

.
因为|

|²=

=(λ

+μ

)²
=λ²+16μ²+2λμ

·


=λ²+16μ²+1≥3.
所以|

|≥

,当且仅当λ=±1时,“=”成立.
故|

|的最小值是

,
此时<

,

>=<

,

>=

或

.
(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A

,B(2

,-2),
设动点M(x,y),



因为

=λ

+μ

,
所以

⇒


再由λμ=

知

-y²=1,
所以,动点M的轨迹是以F₁(-2,0),F₂(2,0)为焦点,实轴长为2

的双曲线,
即存在两定点F₁(-2,0),F₂(2,0)使||

|-|

||恒为常数2

,即k=2

.

考点

据考高分专家说，试题“已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。