已知坐标平面上三点A，B，C．若(OA+OC)2=7，求向量OB与OC夹角的大小；若AC⊥BC

题文

已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若(OA+OC)2=7（O为原点），求向量OB与OC夹角的大小；
（2）若AC⊥BC，求sin2α的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵OA+OC=(2+cosα，sinα)，(OA+OC)2=7，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴cosα=12．
又B（0，2），C（cosα，sinα），设OB与OC的夹角为θ，
则：cosθ=OB•OC|OB||OC|=2sinα2=sinα=±32，
∴OB与OC的夹角为π6或56π．
（2）∵AC=(cosα-2，sinα)，BC=(cosα，sinα-2)，
由AC⊥BC，∴AC•BC=0，
可得cosα+sinα=12，①
∴(cosα+sinα)2=14，∴2sinαcosα=-34，sin2α=-34

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。