在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知p=(-1，2)，A，B，C，其中0≤θ≤π2若AB⊥p，且|AB|=5|OA

题文

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知p=(-1，2)，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中0≤θ≤π2
（1）若AB⊥p，且|AB|=5|OA|，求向量OB；
（2）若向量AC∥p，当k为大于4的某个常数时，tsinθ取最大值4，求此时OA与OC夹角的正切值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）AB=(n-8，t)（2分）
AB⊥pAB•p=-(n-8)+2t=0，n-8=2t（1）
|AB|=5|OA|，（n-8）²+t²=5×64=320（2）
（1）代入（2）得5t²=5×64
∴t=±8当t=8时n=24；
当t=-8时，n=-8
∴OB=(24，8)或（-8，-8）（8分）
（2）AC=(ksinθ-8，t)
AC∥p（ksinθ-8）•2=-t（10分）
tsinθ=-2(ksinθ-8)sinθ=2(-ksin2θ+8sinθ)=-2k(sinθ-4k)2+32k
∵k＞4∴0＜4k＜1
∴sinθ=4k时，(tsinθ)max=32k=4
k=8此时，sinθ=12θ=π6（13分）
此时OA=(8，0)OC=(4，8)OA•OC=|OA||OC|cosα=8•45cosα=32
故cosα=15，sinα=25，tanα=2（16分）

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知p.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。