如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1．若12＜S＜32，求＜OF，FQ＞的范围；设|OF|=c(c≥2)，S=34c.若以O为中心，F为一

题文

如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1．
（Ⅰ）若12＜S＜32，求＜OF，FQ＞的范围；
（Ⅱ）设|OF|=c(c≥2)，S=34c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|OQ|取最小值时，求椭圆的方程．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令＜OF，FQ＞=θ，
∵OF•FQ=1，∴|OF| |FQ| cosθ=1，∴|OF| |FQ| =1cosθ，
∵S=12|OF| |FQ| sin(π-θ)=12|OF| |FQ| sinθ，
∴S=12tanθ，∵12＜S＜32，∴1＜tanθ＜3，
∵θ∈[0，π]，∴π4＜θ＜π3．
（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），
且S=12cnS=34c，∴n=32．
∵OF=(c，0)，FQ=(m-c，n)，
∴OF•FQ=c(m-c)=1．
∴m=c+1c，∴Q(c+1c，32)．
∴|OQ|2 =(c+1c)2+94，
∵c≥2，
∴当c=2时，|OQ|最小，此时Q（52，32），
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，
∴c2=4=a2-b2(52)2a2+(32)2b2=1，
∴a²=10，b²=6．
∴所求椭圆为x210+y26=1．

解析

OF

考点

据考高分专家说，试题“如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•F.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。