已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=3|ka+b|，其中k＞0，试用k表示a•b，并求出a•b的最大值及此时a与b的夹角为θ的值；

题文

已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=3|ka+b|，其中k＞0，
（1）试用k表示a•b，并求出a•b的最大值及此时a与b的夹角为θ的值；
（2）当a•b取得最大值时，求实数λ，使|a+λb|的值最小，并对这一结果作出几何解释． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵|a|=|b|=1，|a-kb|=3|ka+b|，
∴a2-2ka•b+k2b2=3k² a2+6ka•b+3 b2，∴1-2ka•b+k²=3k²+6ka•b+3，
∴a•b=-（ k4+14k）．∵k4+14k≥2×14=12，
∴a•b≤-12，当且仅当k4=14k，即k=1时，取等号．
此时，a•b=-12=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）当a•b取得最大值时，a•b=-12，|a+λb|=|a+λb|2=1+2λ•a•b+λ2=1 -λ+λ2，
故当λ=12 时，|a+λb|的最小值等于1-12+14=32，
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=12时，对角线OB最短为32．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。