平面直角坐标系有点P，Q，x∈[-π4，π4]；求向量OP和OQ的夹角θ的余弦用x表示的函数f；求cosθ的最

题文

平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-π4，π4]；
（1）求向量OP和OQ的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求cosθ的最值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵P（1，cosx），Q（cosx，1），
∴OP =（1，cosx），OQ=（cosx，1）
∴OP•OQ=2cosx，|OP||OQ|=1+cos²x
∴cosθ=OP•OQ|OP||OQ|=2cosx1+cos2x=f（x）
（2）f（x）=cosθ=OP•OQ|OP||OQ|=2cosx1+cos2x=2cosx+1cosx且x∈[-π4，π4]
∴cosθ∈[22，1]
令g（x）=x+1x
设x₁，x₂∈[22，1]，且x₁＜x₂
∵g′(x)=1-1x2＜0在[22，1]上恒成立（此处也可以利用单调性的定义判断）
∴g（x）=x+1x在[22，1]上是减函数．
∴2≤cosx+1cosx≤322
∴223≤f(x)≤1 即223≤cosθ≤1

解析

OP 

考点

据考高分专家说，试题“平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。