题文
设平面内的向量OA=(-1，-3)，OB=(5，3)，OM=(2，2)，点P在直线OM上，且PA•PB=16．（Ⅰ）求OP的坐标；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）设t∈R，求|OA+tOP|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）设OP=(x，y)．由点P在直线OM上，可知OP与OM共线．
而OM=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有OP=(x，x)．
由PA=OA-OP=(-1-x，-3-x)，PB=OB-OP=(5-x，3-x)，
所以PA•PB=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)，
即PA•PB=2x2-4x-14．
又PA•PB=16，所以2x2-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以OP=(5，5)或（-3，-3）．…（4分）
当OP=(5，5)时，
PA=(-6，-8)，PB=(0，-2)满足PA•PB=16，
当OP=(3，3)时，
PA=(-4，-6)，PB=(2，0)不满足PA•PB=16，
所以OP=(5，5)
（Ⅱ）由PA=(-6，-8)，PB=(0，-2)，
可得|PA|=10，|PB|=2．
又PA•PB=16．
所以cos∠APB=PA•PB|PA|•|PB|=1610×2=45．…（8分）
（Ⅲ）OA+tOP=(-1+5t，-3+5t)，|OA+tOP|=50t2-40t+10．
当t=25时，|OA+tOP|的最小值是2． …（12分）
解析
OP考点
据考高分专家说，试题“设平面内的向量OA=(-1，-3)，OB.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。
