已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点E(a2c，0)在x轴上，若椭圆的离心率e=22，且|EF|=1．求a，b的值；若过F的

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点E(a2c，0)在x轴上，若椭圆的离心率e=22，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且OA+OB与向量m=(4，-2)共线（其中O为坐标原点），求证：OA与OB的夹角为π2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知ca=22，a2c-c=1，解得a=2，c=1，从而b=1．
（2）由（1）知F（1，0），显然直线不垂直于x轴，
可设直线AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y=k(x-1)x22+y2=1消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
则x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2(k2-1)1+2k2，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=-2k1+2k2，
于是OA+OB=(4k21+2k2，-2k1+2k2)，
依题意：4k21+2k24=-2k1+2k2-2，故k=2，或k=0(舍)
又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=-k21+2k2，
故OA•OB=x1x2+y1y2=0，所以OA与OB的夹角为90°

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。