已知向量OA=(λsinα，λcosα)，OB=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．求OA，OB的夹角θ的大小；求|AB|的最小值．

题文

已知向量OA=(λsinα，λcosα)，OB=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求OA，OB的夹角θ的大小；
（2）求|AB|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）|OA|=|λ|，|OB|=1
OA•OB=λ(sinαcosβ+cosαsinβ)=λsin4
cosθ=OA•OB|OA||OB|=λsin4|λ|．
当λ＞0时，cosθ=sin4=cos（4-π2），
因0≤θ≤π，0≤4-π2≤π，故θ=4-π2；
当λ＜0时，cosθ=-sin4=cos(3π2-4)，
因0≤θ≤π，0≤3π2-4≤π，故θ=3π2-4
（2）|AB|2=(OB-OA)2
=OB2-2OB•OA+OA2
=λ²-2λsin（α+β）+1
=λ²-2λsin4+cos²4+sin²4
=（λ-sin4）²+cos²4
≥cos²4
所以|AB|的最小值为-cos4．

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OA=(λsinα，λcosα).....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。