向量a，b满足|a|=|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，．求a•b关于k的解析式f；请你分别探讨a⊥b和a∥b的可能性，若不

题文

向量a，b满足|a|=|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，（k＞0）．
（1）求a•b关于k的解析式f（k）；
（2）请你分别探讨a⊥b和a∥b的可能性，若不可能，请说明理由，若可能，求出k的值；
（3）求a与b夹角的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知有|ka+b|²=（3|a-kb|）²，
又∵|a|=|b|=1，则可得a•b=k2+14k（k＞0）
即f（k）=k2+14k（k＞0）…（4分）
（2）∵k＞0，a•b=k2+14k＞0，故a与b不可能垂直．
若a∥b，又a•b＞0，则a与b只可能同向，
故有a•b=k2+14k=1，即k²-4k+1=0，
又k＞0，故k=2±3，
∴当k=2±3时，a∥b…（8分）
（3）设a，b的夹角为θ，则
cosθ=a•b|a||b|=a•b=k2+14k=14(k+1k)≥14×2k•1k=12，
当且仅当k=1k，（k＞0）即k=1时，取等号，即（cosθ）_min=12，
又0≤θ≤π，故θ的最大值为π3．…（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“向量a，b满足|a|=|b|=1，|ka.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。