在平面直角坐标系中，已知点A，向量e=，点B为直线x=-1上的动点，点C满足2OC=OA+OB，点M满足BM•e=0，CM•AB=0．

题文

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量e=（0，1），点B为直线x=-1上的动点，点C满足2OC=OA+OB，点M满足BM•e=0，CM•AB=0．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）试证直线CM为轨迹E的切线． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设B（-1，m），C（x₁，y₁），
由2OC=OA+OB，得：2（x₁，y₁）=（1，0）+（-1，m），解得x₁=0，y1=m2（2分）
设M（x，y），由BM•e=0CM•AB=0，得(x+1，y-m)•(0，1)=0(x，y-m2)•(-2，m)=0⇒x=m24y=m，（4分）
消去m得E的轨迹方程y²=4x（6分）
（2）由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
设M（y04，y0），则B（-1，y₀），C（0，y02），
当y₀≠0时，kMC=2y0，MC的方程y=2y0x+y02（8分）
将MC方程与y²=4x联立消x，整理得：y²-2y₀y+y₀²=0，
它有唯一解y=y₀，即MC与y²=4x只有一个公共点，
又k_MC≠0，所以MC为y²=4x的切线（10分）
当y₀=0时，显然MC方程x=0为轨迹E的切线
综上知，MC为轨迹E的切线．

解析

OC

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。