已知a＞b＞0，F是方程x2b2+y2a2=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，PF与x轴平行，PF=a4，设A，B，m

题文

已知a＞b＞0，F是方程x2b2+y2a2=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，PF与x轴平行，PF=a4，设
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m=(x1b，y1a)，n=(x2b，y2a)，m•n=0
（I ）求椭圆E的离心率
（II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx-3经过A、B两点，求k²的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵P是椭圆E上的点，PF与x轴平行，
∴|PF|=b2a，
∵|PF|=a4，
∴b2=14a2
∴c2a2=34
∴e=32
（II）椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2
∴ab=2，
解方程组b2=14a2ab=2得a=2b=1，
∴椭圆的方程是x2+ y24 =1
设A（x₁，kx₁-3），B（x₂，kx₂-3）
∵m•n=0
∴（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0，
∵y=kx+34x2+y2-4=0，
得（4+k²）x²-6kx+5=0
即（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0
由y=kx-34x2+y2-4=0
得（4+k²）x²-6kx+5=0，
∴x1+x2=6k4+k2，x1x2=54+k2
∴（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0，
∴56-4k²=0
k²=14

解析

PF

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞b＞0，F是方程x2b2+y2a.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。