题文
已知函数f(x)=loga(x2+1+bx)（a＞0且a≠1），给出如下判断：①函数f（x）为R上的偶函数的充要条件是b=0；
②若a=12，b=-1，则函数f（x）为R上的减函数；
③当a＞1时，函数为R上的增函数；
④若函数f（x）为R上的奇函数，且为R上的增函数，则必有0＜a＜1，b=-1或a＞1，b=1．
其中所有正确判断的序号是______． 题型：未知 难度：其他题型
答案
①由函数f（x）为R上的偶函数可得f（-x）=f（x）对若任意的x都成立∴loga(1+(-x)2-bx)=loga(1+x2+bx)即1+x2-bx=1+x2+bx对任意的x都成立
∴bx=0对任意的x都成立，则b=0，故①正确
②当a=12，b=-1时，f（x）=log12(1+x2-x)，则f（-x）=log12(1+x2+x)=log1211-x2-x
=-f（x），则函数f（x）为奇函数，由于g（x）=1+x2-x=11+x2+x在（0，+∞）单调递减，y=log12g(x)在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递增，故②错误
③当a＞1时，函数y=logat单调递增，而t=1+x2+bx单调性不确定，故③错误
④若函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x）对任意的x都成立，
则loga (1+x2-bx)=-loga(1+x2+bx)
∴1+x2-bx=11+x2+bx
∴（1-b2）x2=0对任意的x都成立
∴b=1或b=-1
∵函数f（x）为R上的增函数
当b=-1时，1+x2-x在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，0＜a＜1
当b=1时，1+x2+x在R上单调递增，由复合函数的单调性可知，a＞1
故④正确
故答案为：①④
对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习
解析
1+(-x)2
