已知函数f(x)=12+log2x1-x．求证：f的图象关于点(12，12)成中心对称；若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)(n

题文

已知函数f(x)=12+log2x1-x．
（Ⅰ）求证：f（x）的图象关于点(12，12)成中心对称；
（Ⅱ）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)(n∈N*，且n≥2)，求Sn；
（Ⅲ）已知a1=23，an=1(Sn+1)(Sn+1+1)(n≥2，n∈N*)，数列{a_n}的前n项和为T_n．若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）在函数f（x）图象上任取一点M（x，y），M关于(12，12)的对称点为N（x₁，y₁），
∴x+x12=12y+y12=12，∴x=1-x1y=1-y1①．
∵f（x）=12+log2x1-x，即y=12+log2x1-x②．
将①代入②得，1-y1=12+log21-x11-(1-x1)=12+log21-x1x1=12-log2x11-x1，
∴y1=12+log2x11-x1，∴N（x₁，y₁）也在f（x）图象上，∴f（x）图象关于点(12，12)成中心对称．
（直接证f（x）+f（1-x）=1得f（x）图象关于点(12，12)成中心对称，也可给分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时，Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)③，Sn=f(n-1n)+f(n-2n)+••+f(1n)④
③+④得2S_n=n-1，∴Sn=n-12．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当n≥2时，an=1(n-12+1)(n2+1)=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2)，
∴当n≥2时，Tn=23+4(13-14+14-15+…+1n+1-1n+2)=23+4(13-1n+2)=2-4n+2；
∵当n=1时，T1=23也适合上式，∴Tn=2-4n+2(n∈N*)．
由T_n＜λ（S_n+1+1）得，2-4n+2＜λ(n2+1)，∴λ＞2n+2(2-4n+2)，即λ＞4n+2-8(n+2)2．
令t=2n+2，则4n+2-8(n+2)2=2t-2t2=-2(t-12)2+12，
又∵n∈N^*，∴0＜t≤23，
∴当t=12时，即n=2时，4n+2-8(n+2)2最大，它的最大值是12，∴λ∈(12，+∞)．（14分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

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