对于函数f，其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f＞12[f+f]，则称f为定义域上的凸函数．

题文

对于函数f（x），其定义域为D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（x1+x22）＞12[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax²（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x₁≠x₂，则
f（x1+x22）-12[f（x₁）+f（x₂）]=a(x1+x22)2-12（ax12-ax22）=-a(x1-x2)24＜0，…2分
∴f（x1+x22）＜12[f（x₁）+f（x₂）]，…4分
∴f（x）不是其定义域上的凸函数…6分
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（x1+x22）＞12[f（x₁）+f（x₂）]，…8分
即logax1+x22＞12（log_ax₁+log_ax₂）=logax1x2①…10分
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴(x1+x22)2-x₁x₂=(x1-x2)24＞0，即x1+x22＞x1x2…12分
故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）…14分

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

x1+x22