已知f=log12x，当点M在y=f的图象上运动时，点N在函数y=gn的图象上运动．求y=gn（x

题文

已知f（x）=log12x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设Hn(x)=2gn(x)，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为[log252b+2，log242a+2]，求实数a，b的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由y=f(x)ny=gn(x-2)，
得gn(x-2)=nf(x)=nlog12x，
所以gn(x)=nlog12(x+2)，（x＞-2）．（4分）
（2）log12(x+2)=2log12(x+a)，
即x+2=x+a（x+2＞0）（6分）
a=-x+x+2，令t=x+2＞0，
所以a=-t2+t+2≤94，
当x=-74时，a=94．
即实数a的取值范围是(-∞，94]（10分）
（3）因为Hn(x)=2nlog12(x+2)=1(x+2)n，
所以F(x)=1x+2+log12(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是减函数．（12分）
所以F(a)=log242a+2F(b)=log252b+2
即1a+2+log12(a+2)=log242a+21b+2+log12(b+2)=log252b+2，
所以a=2b=3（16分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

y=f(x)ny=gn(x-2)