已知函数f满足f=a(x2-1)x(a2-1)，求f的解析式及其定义域；在函数y=f的图象上是

题文

已知函数f（x）满足f（log_ax）=a(x2-1)x(a2-1)，（其中a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式及其定义域；
（2）在函数y=f（x）的图象上是否存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行，如果存在，求出两点；如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设t=log_ax，则x=a^t，t∈R
∴f（t）=a(a2t-1)at(a2-1)=aa2-1×a2t-1at=aa2-1(at-a-t)(t∈R)
∴f(x)=aa2-1(ax-a-x)(x∈R)，定义域为R
（2）不存在，理由如下：
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=aa2-1(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=aa2-1(ax1-ax2+ax1-ax2ax1+x2)
=a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)(a2-1)ax1+x2
∵ax1+x2+1＞0，ax1+x2＞0，而不论a＞1还是0＜a＜1ax1-ax2与a²-1同号
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
故在函数y=f（x）的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

a(a2t-1)at(a2-1)