已知集合M是满足下列性质的函数f的全体：在定义域内存在x0，使得f=f+f成立．函数f=sinx是否属于集合M？说明

题文

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=sinx是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=lg2kx2+1∈M，求实数k的取值范围．
（3）若函数f（x）=2^x+x²，证明f（x）∈M． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知f（x）=sinx，要f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即需sin（x₀+1）=sinx₀+sin1
显然当x₀=0时等式成立，即f（x）=sinx∈M．
（2）∵函数f（x）=lg2kx2+1∈M，∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即lg2k(x+1)2+1=lg2kx2+1+lg2k2lg2k(x+1)2+1=lg2kx2+1•2k22k(x+1)2+1=2kx2+1•2k2，
∴x²+1=k（x²+2x+2），∴（k-1）x²+2kx+2k-1=0有解，
①k=1时，x=-12有解，符合；
②k≠1时，△=4k²-4（k-1）（2k-1）≥0，∴3-

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

2kx2+1