已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x2+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f(x)=log13(x2-2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p∀

题文

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f(x)=log13(x2-2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p∀q”是真命题，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立
∴a＞2-x2x=2x-x在x∈[1，2]上恒成立，
令g(x)=2x-x，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a＞1．即若命题p真，则a＞1；
又∵函数f(x)=log13(x2-2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数，
∴u(x)=x2-2ax+3a是[1，+∞)上的增函数u(x)=x2-2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立
∴a≤1u(1)＞0∴-1＜a≤1．即若命题q真，则-1＜a≤1．
若命题“p∀q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题，
若p真q假，则有a＞1，若p假q真，则有-1＜a≤1，若p，q均为真命题，不存在a；
综上可得实数a的取值范围是a＞-1．

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解析

2-x2x

考点

据考高分专家说，试题“已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”