已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.

题文

已知函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

a的取值范围是：(1，3］∪［

解析

当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log_ax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log_a3.                                4分
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1＜a≤3.                                       6分
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|="-f(x).                                                        " 8分
∵f（x）=log_ax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有
|f(x)|=-f(x)≥-log_a3.                                                     10分
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-log_a3≥1成立即可，
∴log_a3≤-1=log_a

,即

≤3,∴

≤a＜1.                                     12分
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［

，1）.   14分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=logax(a＞0,a.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。