现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00%，不考虑焊接处损失．方案一：如图，从右侧两个

题文

现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00%，不考虑焊接处损失．
方案一：如图（1），从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图（2），若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼？．



题型：未知 难度：其他题型

答案

方案一：设小正方形的边长为x，由题意得4x=60，x=15，
所以铁皮盒的体积为65×30×15=29250（cm³）． …（4分）
方案二：设底面正方形的边长为x（0＜x＜60），长方体的高为y，
由题意得x²+4xy=4800，即y=4800-x24x，
所以铁皮盒体积V(x)=x2y=x24800-x24x=-14x3+1200x，…（10分）V/(x)=-34x2+1200，令V′（x）=0，解得x=40或x=-40（舍），
当x∈（0，40）时，V'（x）＜0；当x∈（40，60）时，V'（x）＞0，
所以函数V（x）在x=40时取得最大值32000cm³．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．     …（15分）
答：方案一铁皮盒的体积为29250cm³；方案二铁皮盒体积的最大值为32000cm³，将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．（16分）

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解析

4800-x24x

考点

据考高分专家说，试题“现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形A.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.