已知函数f=a|x|+2ax，x∈[-2，+∞），若f的最小值与a无关，求a的取值范围．

题文

已知函数f（x）=a^|x|+2a^x（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值与a无关，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当x∈[0，+∞）时，f（x）=a^x+2a^x=3a^x．
∵a＞1，∴f（x）_min=f（0）=3．
当x∈[-2，0）时，f（x）=1ax+2a^x．
∵a＞1，∴1a2≤a^x＜1．
∵1ax+2a^x≥22，当且仅当1ax=2a^x，即a^x=22时等号成立．
∴若1a2＞22，即1＜a＜42，则f（x）_min=f（1a2）=a²+2a2，
若1a2≤22，即a≥42，则f（x）_min=22．
又∵a²+2a2＜3（否则，由a²+2a2≥3，得（a²-1）（a²-2）＞0，又a＞1，所以a²＞2，即a＞2，
即a＞2，这与1＜a＜42矛盾），
∴当1＜a＜42时，f（x）_min=a²+2a2；
当a≥42时，f（x）_min=22．
故当f（x）的最小值与a无关时，a的取值范围是[42，+∞）．

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解析

1ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.