某公司生产一种产品，其固定成本为0.5万元，但每生产100件产品需要增加投入0.25万元，设销售收入为R且R(x)=5x-0.5x2(0≤x≤5)

题文

某公司生产一种产品，其固定成本为0.5万元，但每生产100件产品需要增加投入0.25万元，设销售收入为R（x）（万元）且R(x)=5x-0.5x2(0≤x≤5)12.5(x＞5)，其中x是年产量（单位百件）．
（1）把利润H（x）（万元）表示成年产量的函数．
（2）当年产量是多少时，当年公司的利润最大值多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当0≤x≤5时，H（x）=R（x）-（0.5+0.25x）=-0.5x²+4.75x-0.5…（2分）
当x＞5时H（x）=12.5-0.5-0.25x=-0.25x+12…（2分）
综上所述：H(x)=-0.5x2+4.75x-0.50≤x≤5-0.25x+12x＞5…（2分）
（2）当0≤x≤5时，∵H（x）=-0.5x²+4.75x-0.5
∴x=4.75，H（x）_max=H（4.75）=10.78125…（3分）
当x＞5时H（x）=12-0.25x在（5，+∞）内是减函数
∴H（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75
而10.75＜10.78125…（2分）
∴当年产量为4.75百件时，公司的最大利润为10.78125万元．…（1分）

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解析

-0.5x2+4.75x-0.50≤x≤5-0.25x+12x＞5

考点

据考高分专家说，试题“某公司生产一种产品，其固定成本为0.5万.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.