通过实验知道如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过时间t分钟后，物体温度θ将满足：θ=θ0+•2-kt，其中k为正常数．已知一杯开水

题文

通过实验知道如果物体的初始温度是θ₁℃，环境温度是θ₀℃，则经过时间t分钟后，物体温度θ将满足：θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt
，其中k为正常数．
已知一杯开水（100℃）在室温为20℃的环境下经过30分钟后温度会降至30℃．
（1）若当前室温为16℃，从冰柜中拿出的温度为-4℃的冰块，经过5分钟之后，能否融化？（即温度达到0℃以上，参考数据：2≈1.414）
（2）在室温为-4℃的环境下，12℃的水经过多长时间可以结冰？-20℃的冰能否融化？（即变为0℃，请依据本题的原理解释）
（3）探究：同样多的一杯开水和一杯冷水一同放进冰箱，哪个先结冰？请猜想答案，有条件的在考后抽空做实验并上网查阅相关资料． 题型：未知 难度：其他题型

答案

依题意开水（100℃）在室温20℃的环境下，经过30分钟后温度降至30℃．
故30=20+（100-20）•2^-k•30⇒k=110（2分） 
∴θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2-t10…（3分）
（1）θ=16+（-4-16）•2-510=16-20×22≈1.86℃＞0℃…（6分）     
∴5分钟之后，这个冰块能融化．…（7分）
（2）12℃的水结冰：0=-4+（12-（-4））•2-t110⇒t₁=20分钟…（9分）
-20℃的冰融化：0=-（-20-（-4））•2-t210：⇒t₂不存在（11分）
∴-20℃的冰在-4℃的条件下不可能融化．…（12分）    
（3）开水先结冰（详见“姆潘巴的问题”）．（14分）

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解析

110

考点

据考高分专家说，试题“通过实验知道如果物体的初始温度是θ1℃，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.