为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方

题文

为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值；
（3）（理）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于1.1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩底面积的最小值（结果保留一位小数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

：（1）y=1000(V-0.5)+16000V=1000V+16000V-500（或y=V+16V-0.5）（V＞0.5）（理4分，文6分）
（2）y=1000V+16000V-500≥7500（理8分，文12分）
当且仅当1000V=16000V，即V=4立方米时不等式取得等号（理（10分），文15分）
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．                   （文16分）
（3）（理）解法1：由题意得不等式：V+16V-0.5≤8（理12分）
当保护罩为正四棱锥形状时，V=23S，代入整理得：4S²-51S+144≤0，解得4.22≈51-3338≤S≤51+3338≈8.53；
当保护罩为正四棱柱形状时，V=2S，代入整理得：4S²-17S+16≤0，解得1.41≈8.5-8.254≤S≤8.5+8.254≈2.84（理15分）
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米    （理16分）
解法2．解方程8000=1000V+16000V-500，即V²-8.5V+16=0得两个根为V₁=2.814，V₂=5.686（理12分）
由于函数y=1000V+16000V-500在（0，4]上递减，在[4，+∞）上递增，所以当V＜V₁时，总费用超过8000元，所以V取得最小值V₁（理14分）
由于保护罩的高固定为2米，
所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面积是正四棱锥底面积的13．
所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，S=V1h=2.8142≈1.4m²            （理15分）
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，1.21＜1.4，
所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米   （理16分）
解法3．解V+16V-0.5≤8（理12分）
得2.8≈8.5-8.252≤V≤8.5+8.252≈5.7（理14分）
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，当保护罩为正四棱锥形状时，V=23S≥0.87；
当保护罩为正四棱柱形状时，V=2S≥2.42．
所以，保护罩容积可取最小V=2.8立方米，当形状为棱柱时底面正方形的面积最小，为1.4平方米  （理16分）

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解析

16000V

考点

据考高分专家说，试题“为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.