某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为50000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成

题文

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为50000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆投入成本增加比例为x（0＜x＜1），则出厂价格相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润关于x的函数关系式；
（Ⅱ）若年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设年利润为y，则有y=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]50000（1+0.4x）=50（-36x²+30x+300）．
即y=-1800x²+1500x+15000，x∈（0，1）．（4分）
（Ⅱ）依题意年利润f(x)=[1.3(1+0.7x)-1×(1+x)]×3240(-x2+2x+53)，  x∈(0，  1)
即f(x)=1625(9x3-48x2+45x+50)，  x∈(0，  1)．（6分）
要求f（x）的最大值，即求g（x）=9x³-48x²+45x+50，x∈（0，1）的最大值．g'（x）=27x²-96x+45．
由g'（x）=0得x=59或x=3（舍）．（8分）
当x∈(0，  59)时，g'（x）＞0；当x∈(59，  1)时，g'（x）＜0．
∴x=59时，g（x）有最大值，g(x)max=g(59)=500081．（10分）
∴f(x)max=f(59)=1625×500081=2000．（11分）
答：当x=59时，本年度年利润最大为2000万元．（12分）

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

53

考点

据考高分专家说，试题“某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.