已知函数f=e-x，．当a=0时，求f′；若f在x=0时取得极小值，试确定a的取值

题文

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x-2y+m=0（ m为确定的常数）相切，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²e^-x，f'（x）=2xe^-x-x²e^-x=xe^-x（2-x）．
所以f'（2）=0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=-e^-x•x[x-（2-a）]．
令f'（x）=0，得x=0或x=2-a．
若2-a=0，即a=2时，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，
此时f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递减，没有极小值；
当2-a＞0，即a＜2时，
若x＜0，则f'（x）＜0．
若0＜x＜2-a，则f'（x）＞0．
所以x=0是函数f（x）的极小值点．
当2-a＜0，即a＞2时，
若x＞0，则f'（x）＜0．
若2-a＜x＜0，则f'（x）＞0．
此时x=0是函数f（x）的极大值点．
综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＜2，且x＞2-a时，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的极大值点，极大值为f（2-a）=（4-a）e^a-2．
所以g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）．
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2．
令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2）．
则h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，即h（x）在区间（-∞，2）上是增函数．
所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1．
又直线3x-2y+m=0的斜率为32，
所以曲线y=g（x）不能与直线3x-2y+m=0相切．

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解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.