已知函数f(x)=ax-1ax+1，判断函数的奇偶性；当x≥0时，求函数f的值域；当a＞1时，判断并证明函数f的单调性．

题文

已知函数f(x)=ax-1ax+1，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）当x≥0时，求函数f（x）的值域；
（3）当a＞1时，判断并证明函数f（x）的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵定义域为R，且f（-x）=a-x-1a-x+1=1-ax1+ax=-f(x)，∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=ax+1-2ax+1=1-2ax+1，
当a＞1时
∵x≥0
∴a^x+1≥2，
∴0＜2ax+1≤1，
即f（x）的值域为[0，1）；
当0＜a＜1时
∵x≥0
∴1＜a^x+1≤2，
∴1≤2ax+1＜2，
即f（x）的值域为（-1，0]．
∴当a＞1时，f（x）的值域为[0，1）；当0＜a＜1时，f（x）的值域为（-1，0]．
（3）当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=ax1-1ax+1-ax2-1ax2+1=2ax1-2ax2(ax1+1)(ax2+1)＜0
∵分母大于零，且a x 1＜a x 2，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

a-x-1a-x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax-1ax+1，（1.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.