已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数．求a，b的值；判断函数f的单调性并加以证明；当t∈[-1，2]时，不等式f

题文

已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+ a是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）当t∈[-1，2]时，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）=-20+b2 + a=0，可得b=1，
∴f(x)=-2x+12x+1+ a，取f（-1）=-f（1）得-2-1+120+ a=--21+122+ a，解之得a=2
因此，f(x)=-2x+12x+1+ 2，满足f(-x)=-2-x+12-x+1+ 2=--2x+12x+1+ 2=-f（x），符合题意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，f(x)=-2x+12x+1+ 2=-12+22x+1，设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=-12+22x1+1-（-12+22x2+1）=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1)
∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，
∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0且2x2+1＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对任意t∈R有：3t²-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0⇒k＜-13，即实数k的取值范围是（-∞，-13）．

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解析

-20+b2 + a

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.