已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t之间的关系为y=f=11+a•2-bt•100%，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任

题文

已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t（单位时间）之间的关系为y=f（t）=11+a•2-bt•100%，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f（t）；
（Ⅱ）若定义在区间[x₁，x₂]上的平均学习效率为η=y2-y1x2-x1，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得11+a•2-4b=0.511+a•2-8b=0.8，
整理得a•2-4b=1a•2-4b=14，解得a=4，b=0.5，
所以“学习曲线”的关系式为y=11+4•2-0.5t•100%．
（Ⅱ）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，则η=11+4•2-0.5(x+2)-11+4•2-0.5x(x+2)-x=2-0.5x(1+2•2-0.5x)(1+4•2-0.5x)
令u=2^-0.5x，则η=u(1+2u)(1+4u)=11u+8u+6，
显然当1u=8u，即u=24时，η最大，
将u=24代入u=2^-0.5x，得x=3，
所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．

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解析

11+a•2-4b=0.511+a•2-8b=0.8

考点

据考高分专家说，试题“已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.