已知函数f(x)=(19)x-2a(13)x+3，x∈[-1，1]若f的最小值记为h，求h的解析式．是否存在实数m，n同时满足以下

题文

已知函数f(x)=(19)x-2a(13)x+3，x∈[-1，1]
（Ⅰ）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设 (13)x=t，∵x∈[-1，1]，∴t∈[13，3]------------------------（1分）
则原函数可化为φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，t∈[13，3]------------（2分）
讨论 ①当a＜13时，h(a)=φ(t)min=φ(13)=289-2a3-------------（3分）
②当13≤a≤3时，h（a）=φ（t）_min=φ（a）=3-a²-------------（4分）
③当a＞3时，h（a）=φ（t）_min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴h(a)=289-2a3(a＜13)   3-a2  (13≤a≤3)12-6a(a＞3)--------------（6分）
（Ⅱ） 因为h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n²，m²]，
∴h(m)=n2h(n)=m2即：12-6m=n212-6n=m2-----（9分）
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故满足条件的实数m，n不存在．-------------------（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(19)x-2a(13.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.