函数y=ex的图象向下平移b个单位后得到的图象记为Cb，Cb与x轴交于Ab点，与y轴交于Bb点，O为坐标原点写出C

题文

函数y=e^x（e为自然对数的底数）的图象向下平移b（0＜b，b≠1）个单位后得到的图象记为C_b，C_b与x轴交于A_b点，与y轴交于B_b点，O为坐标原点
（1）写出C_b的解析式和A_b，B_b两点的坐标
（2）判断线段OA_b，OB_b长度大小，并证明你的结论
（3）是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似，如果相似，能否全等？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题得y=e^x-b，
令y=0，A_b（lnb，0）；
令x=0，B_b（0，1-b）．
（2）OA_b=|lnb|，OB_b=|1-b|．
①当0＜b＜1时，OA_b=-lnb，OB_b=1-b．
设函数f（x）-lnx-x-1 （0＜x＜1），
f'（x）=1x-1＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴-lnx＞-x+1
∴OA_b＞OB_b．
②当b＞1时，同理可得OA_b＞OB_b，
（3）①当三角形同在第二象限时，0＜m＜1，0＜n＜1时，OA_b＞OB_b，
若Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似，只有1-m-lnm=1-n-lnn⇒1-mlnm=1-nlnn，
设函数g（x）=1-xlnx（0＜x＜1），
g'（x）=-lnx-1x+1ln 2x=x-xlnx-1xln 2x（0＜x＜1），
设函数h（x）=x-lnx-1，h'（x）=-lnx＞0在（0，1）上恒成立，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=0在（0，1）上恒成立，
∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，g（x）在（0，1）上单调递减，
所以当0＜m＜1，0＜n＜1时，不存在．当三角形同在第四象限时，m＞1，n＞1，同理可得m，n不存在．
③当三角形在不同象限时，不妨设0＜m＜1，n＞1时，若Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似，
则OA_m＞OB_m，OA_n＜OB_n，则有lnmm-1=n-1lnn，
设M={f₁m|f₁m=lnmm-1（0＜m＜1）}，N={f₂（n）|f₂（n）=n-1lnn（n＞1）}，
有g（x）性质可得：取m∈（1e3，1e），f₁（m）=lnmm-1在（1e3，1e）上单调递增，
∴f₁（m）∈[ee-1，3e3e3-1]，2∈[ee-1，3e3e3-1]
取n∈[e，e²]，f₂（n）=n-1lnn在[e，e²]递增，
∴f2(n)∈[e-1，e2-12]，2∈[e-1，e2-12]．
可得M∩N≠φ，因此存在0＜m＜1，n＞1，使得Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似．
如果全等，则有.OA m=OB nOB m=OA n⇒-lnm=n-11-m=lnn⇒lnm=1-nlnn=1-m．
由lnm=1-n⇒m=e^1-n，代入lnn=1-m，
lnn=1-e^1-n⇒eⁿlnn=eⁿ-e．
设函数F（x）=e^xlnx-e^x+e （x＞1），
F'（x）=e^xlnx+exx-ex=exx（xlnx-x+1）．
设函数H（x）=xlnx-x+1   （ x＞1），
H'（x）=lnx+1-1=lnx＞0，
所以H（x）在（1，+∞）上单调递增，∴H（x）＞H（1）=0．
所以F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上单调递增
∴F（x）＞F（1）=0．
因此不存在n＞1，使得eⁿlnn=eⁿ-e．
所以不存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n全等．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“函数y=ex（e为自然对数的底数）的图象.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.