已知函数f=2x-4x求f的值域解不等式f＞16-9×2x．若关于x的方程f=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

题文

已知函数f（x）=2^x-4^x
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2^x．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=2^x，则t＞0，所以原函数转化为y=t-t²=-（t-12）²+14
在（0，12）上为增函数，在（12，+∞）上是减函数，
∴y≤14，f（x）的值域（-∞，14]．
（2）因为f（x）＞16-9×2^x⇒（2^x）²-10×2^x+16＜0⇒（2^x-2）（2^x-8）＜0⇒2＜2^x＜8⇒1＜x＜3．
所以不等式f（x）＞16-9×2^x的解集为{x|1＜x＜3}．
（3）令t=2^x，因为x∈[-1，1]⇒t∈[12，2]，
所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t²=m在t∈[12，2]上有解
又因为y=t-t²=-（t-12）²+14在t∈[12，2]上为减函数，
所以y_max=14，y_min=-2，即-2≤m≤14．
故m的取值范围-2≤m≤14．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x-4x（1）求f（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.