题文
（13分，理科做）已知函数
的定义域为
，且同时满足：①
；②
恒成立；③若
，则有
．
（1）试求函数
的最大值和最小值；
（2）试比较
与
的大小
N）；
（3）某人发现：当x=
(nÎN)时，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：对一切xÎ(0,1
,都有
，请你判断此猜想是否正确，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（理）解: (1)设0≤x1∴f(x2)－f(x1)³f(t)－2,
由条件②得, f(x2)－f(x1)³0,
故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)＋f(0)－2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³2f()－2,即f()－2≤[f()－2],
故当nÎN*时，有f()－2≤[f()－2]≤[f()－2]≤···≤[f()－2]=,
即f()≤＋2.
又f()=f(1)=3≤2＋,所以对一切nÎN,都有f()≤＋2.
(3)对一切xÎ(0,1
,都有
.对任意满足xÎ(0,1
，总存在n(nÎN),使得
.
综上所述，对任意xÎ(0,1
,
恒成立.
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（13分，理科做）已知函数的定义域为，且.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
