题文
．(本小题满分14分)已知函数
对任意实数
均有
，当
时，
是正比例函数，当
时，
是二次函数，且在
时
取最小值
。
（1）证明：
；
（2）求出
在
的表达式；并讨论
在
的单调性。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵当时，
是正比例函数，
∴设
∴
∴
为奇函数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
∵
∴
的周期
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
∴
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）当
时，依题意可设
由（1）有
∴
，得
∴
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
当
时，
∴
∴
。。。。。。。。。8分
当
时，
，∴
。。。。。。。9分
综上：
在
的表达式为
=
。。。。。。。10分
作出
的图象（如右图）。。。。。。。。。。12分
由图象可知
在
和
上是减函数，在
和
上是增函数。14分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“．(本小题满分14分)已知函数对任意实数.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
