题文
已知函数
在
是增函数,
在(0,1)为减函数.
（I）求
、
的表达式；
（II）求证:当
时,方程
有唯一解；
（Ⅲ）当
时,若
在
∈
内恒成立,求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）
（II）由(1)可知,方程
,
设
,
令
,并由
得
解知
；（III）
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解析
（I）
依题意
,即
,
.
∵上式恒成立,∴
① …………………………1分
又
,依题意
,即
,
.
∵上式恒成立,∴
② …………………………2分
由①②得
. …………………………3分
∴
…………………………4分
（II）由(1)可知,方程
,
设
,
令
,并由
得
解知
………5分
令
由
…………………………6分
列表分析:
(0,1)
1
(1,+¥)
-
0
+
递减
0
递增
知
在
处有一个最小值0, …………………………7分
当
时,
＞0,∴
在(0,+¥)上只有一个解.
即当x＞0时,方程
有唯一解. ……………………8分
（III）设
, ……9分
在
为减函数
又
…………11分
所以：
为所求范围. ………………12分
点评：导数的应用是高考的一个重点，利用导数求最值及判断函数的单调性比用定义法要简单的多，要注意利用这个工具
考点
据考高分专家说，试题“已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
