题文
已知定义在
的函数
,对任意的
、
，都有
，且当
时，
.
（1）证明：当
时，
；
（2）判断函数
的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的
、
，
恒成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）先证明
，进而证明当
时，
；
（2）严格按照单调函数的定义证明即可；
（3）
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解析
(1)证明:取
,
又
,即
,
所以当
时，
；
.
(2)
在
上是减函数,证明如下:
设
,
在
上是减函数.
(3)
，
而
，所以实数
的取值范围为
.
点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且抽象函数的单调性的证明知能用定义，利
用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.
考点
据考高分专家说，试题“已知定义在的函数,对任意的、，都有，且当.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
